Как комплексные числа представляют вектор и вращение его на плоскости

[wunderwaffe]

Как известно, комплексные числа (К.Ч.) могут быть представлены в трех записях - z=x+i*y = R*(sin(f)+i*cos(f)) = R*exp(i*f) (алгебраическая, тригонометрическая, показательная)

Здесь f=actan(y/x), R=sqrt(x²+y²) и обратно - x=R*sin(f), y=R*cos(f).

Геометрически комплексное число может быть представлено как вектор на комплексной плоскости, что аналогично представлению вектора в обычных декартовых кооржинатах -

Поставим следущую задачу -

1) у нас есть вектор (х₁,у₁), он повернулся вокруг начала координат на угол f₂. Нужно найти его новые координаты (x',y')

И обратную задачу -

2) у нас есть вектор (x₁,y₁) и он повернулся относительно начала координат так, что его новые координаты cтали равны (x',y') - нужно найти угол поворота f₂.

Решенение задачи (1) в общем-то очевидно, она просто для иллюстрации того, как представить вектор в виде комплексного числа.)

Перемножение комплексных чисел в показательной форме таково -

z' = z₁*z₂ = R₁*exp(i*f₁)*R₁*exp(i*f₁) = R₁*R₂*exp(i(f₁+f₂))

- и из него видно, что результирующий вектор будет повернут на угол (f₁+f₂), а его длина будет равной R₁*R₂.

то есть повороту вектора z = x+i*y = R₁*exp(i*f₁) на угол f₂ соответствует его умножение как комплексного числа (в показательной записи) на комплексное число z₂=exp(i*f₂) (так как длина вектора не меняется, то R₂=1)

С помощью этого знания решим задачу (1) -

а) переведем вектор (x₁,y₁) в его показательную запись -
z₁ = R₁*exp(i*f₁), где R₁ = sqrt(x₁²+y₁²), f₁=arctan(y₁/x₁)
б) умножим его на z₂=exp(i*f₂) -
z' = R₁*exp(i*(f₁+f₂))
в) представим результат в алгебраическом виде -
z' = R₁*sin(f₁+f₂)+i*R₁*cos(f₁+f₂) = x'+i*y'
г) откуда сразу получаются его новые координаты -
x' = R₁*sin(f₁+f₂);
y' = R₁*cos(f₁+f₂)

Теперь решим задачу (2), чуть посложнее. Она обратна задаче (1) - там мы поворачивали вектор на известный угол и нужно было узнать результат - здесь конечный результат известен, но надо найти угол.

В первом случае результат z' как К.Ч. был равен перемножению исходного вектора z₁ как К.Ч. на угол поворота z₂ как К.Ч. -

zR=z₁*z₂;

Теперь нам надо найти не z', а z₂, поэтому нам надо поделить обе части этого равенства на z₁ -

z'/z₁=z₂.

(Таким образом, поворот в одну сторону соответствует умножению комплексных чисел, в лругую - деление комплексных чисел)

Записываем это равенство в показательном виде (учитывая, что длина вектора не меняется, т.е. R'=R₁)

z'/z₁ = exp(i*f')/exp(i*f₁) = exp(i*(f'-f₁)) = exp(i*f₂)

Теперь представляем результат в тригонометрическом виде -

z'/z₁ = exp(i*f₂) = sin(f₂)+i*cos(f₂)

А теперь в алгебраическом виде -

z'/z₁ = (x'+i*y')/(x₁+i*y₁)

Результат деления по известной формуле преобразуется в комплексное число в алгебраическом виде -

(x'+i*y')/(x₁+i*y₁) = (x₁*x'+y₁*y')/(x₁²+y₁²)+i*(x₁*y'-x'*y₁)/(x₁²+y₁²) = sin(f₂)+i*cos(f₂)

откуда сразу можно найти f_2, приравняв реальную и мнимую части -

sin(f₂) = (x₁*x'+y₁*y')/(x₁²+y₁²)
cos(f₂) = (x₁*y'-x'*y₁)/(x₁²+y₁²)

откуда f_2 можно найти аж тремя путями -

1) f₂ = arcsin((x₁*x'+y₁*y')/(x₁²+y₁²))
2) f₂ = arccos((x₁*y'-x'*y₁)/(x₁²+y₁²))
3) f₂ = arctan((x₁*x'+y₁*y')/(x₁*y'-x'*y₁))

Какой из этих путей лучше, кстати?